Dziedzina funkcji logarytmicznej

Określ dziedzinę  wyrażenia:

\(\log_7(\log_{0,7}{x})\)

W pierwszym kroku wyznaczymy dziedzinę badanego wyrażenia. Termin \(\log_7(\log_{0,7}{x})\) jest zbudowany w oparciu o dwie funkcji logarytmiczne. Argumenty obu muszą być większe od \(0\), co przekłada się na dwie nierówności:

1) \(x>0\)

2) \(\log_{0,7}{x}>0\)

Przekształcamy prawą część drugiej z  powyższych nierówności:

\(\log_{0,7}{x}>\log_{0,7}{1}\)

Jako, że \(0,7<1\) mamy, że \(y=log_{0,7}{x} \) jest funkcją malejąca, a co za tym idzie:

\(x<1\)

Podsumowując, dziedziną naszej funkcji jest część wspólna wyżej wyznaczonych wzorów, czyli zbiór \((0,1)\).

Wyznacz dziedzinę wyrażenia:

\(\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}\frac{x}{x^2-1}}\).

 Musimy rozwiązać dwie nierówności: 

Badaną nierówność przekształcamy do równoważnych: 

\(x(x^2-1)>0\)

\(x(x-1)(x+1)>0\)

Sporządzamy wykres i odczytujemy  zbiór rozwiązań:

\(x\in(-1,0)\cup (1,\infty)\).

Nierówność 2

Jako, że argument pierwiastka parzystego stopnia musi być nieujemny musimy rozwiązać nierówność:

\(\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x^2-1}}\geq 0\).

Przekształcamy prawą stronę:

\(\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x^2-1}}\geq \log_{\frac{1}{2}}{1}\).

Z uwagi na fakt, że podstawa przedstawionego logarytmu jest mniejsza niż \(1\) mamy:

\(\frac{x}{x^2-1}\leq 1\).

Przenosząc \(1\) na lewą stronę i sprowadzając oba wyrażenia do wspólnego mianownika otrzymujemy:

\(\frac{x^2-x-1}{x^2-1}\geq 0\)

Równoważną nierównością jest:

\((x^2-x-1)(x^2-1)\geq 0\).

Miejsca zerowe pierwszego trójmianu kwadratowego to \(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) oraz \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\), drugiego \(-1\) oraz \(1\).

Sporządzamy wykres:

i odczytujemy zbiór rozwiązań: \((-\infty,-1>\cup <\frac{1-\sqrt{5}}{2},1>\cup <\frac{1+\sqrt{5}}{2},\infty)\)

Dla jakich \(m\) dziedziną funkcji:

\(f(x)=\log[(2m-3)x^2+(6-m)x+\frac{1}{7}(m-9)]\)

jest cały zbiór liczb rzeczywistych?

Dziedziną badanej funkcji jest zbiór punktów spełniających nierówność:

\((2m-3)x^2+(6-m)x+\frac{1}{7}(m-9)>0\)

Wyrażenie po lewej stronie jest trójmianem kwadratowym. Policzymy jego wyróżnik:

\(\Delta = (6-m)^2-\frac{4}{7}(m-9)(2m-3)\)

\(\Delta = 36-12m+m^2-\frac{4}{7}(2m^2-21m+27)\)

Po przemnożeniu obu stron równości przez \(7\) mamy:

\(7\cdot\Delta = 252-84m+7m^2-8m^2+84m-108\)

Finalnie otrzymujemy:

\(\Delta = \frac{1}{7}(144-m^2)\)

Widzimy, że \(\Delta\) jest większa od \(0\) dla \(m\in(-12,12)\).

Przedział ten jest również zbiorem \(m\) spełniających warunki postulowane w zadaniu.

Zaznacz na płaszczyźnie kartezjańskiej zbiór punktów spełniających nierówność:

\(\log_y({\log_x{y}})<0\).

Wyznaczmy dziedzinę lewej strony badanego wyrażenia. Znów rozbijemy to zadanie na  etapy: 

Etap 1) Wskażemy dziedzinę wyrażenia: \(\log_{x}{y}\)

Z definicji logarytmu mamy, że powyższe wyrażenie ma sens, gdy 

1a) \(y>0\)

oraz 

1b) \(x>0\) i \(x\neq 1\)

Graficznie, zbiór wyznaczonych punktów to:

2) Teraz wyznaczymy dziedzinę wyrażenia \(\log_y({\log_x{y}})\).

Mamy oczywiście, że \(y\neq 1\) (jest to bowiem podstawa zewnętrznego logarytmu.)

Teraz jeszcze wystarczy  rozwiązać nierówność:

\(\log_x{y}>0\)

Stosujemy podstawienie:

\(\log_x{y}>\log_x{1}\).

Rozwiązanie tego równania zależy od \(x\) (funkcja \(\log_x\) może być w zależności od \(x\) rosnąca lub malejąca ).

I) \(0<x<1\)

Funkcja \(\log_x\) jest malejąca, a co za tym idzie:

\(\log_x{y}>\log_x{1}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(0<y<1\).

II)\(1<x\)

Funkcja \(\log_x\) jest rosnąca, więc dla \(x>0\). \(x\neq 1\), \(y>1\):

\(\log_x{y}>\log_x{1} \) wtedy i tylko wtedy, gdy \(y>1.\)

Zbiór punktów wyznaczonych w trakcie drugiego etapu  reprezentuje rysunek:

Etap 3)

Mając wyznaczoną dziedzinę naszej nierówności przechodzimy finalnie do jej rozwiązania:

\(\log_y(\log_x{y})<0\)

\(\log_y(\log_x{y})<\log_y1\)

Powyższa nierówność zależy od \(y\) (musimy ustalić, czy \(\log_y\) jest funkcją rosnącą czy malejącą.)

I)\(0<y<1\)

Wtedy:

\(\log_y(\log_x{y})<\log_y1\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\log_x{y}>1\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\log_x{y}>\log_x{x}\).

W etapie drugim (patrz rysunek) ustaliliśmy, że \(y<1\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x<1\), zatem:

\(\log_x{y}>\log_x{x}\) wtedy i tylko wtedy, gdy  \(y<x\).

II) \(y>1\), wówczas:

\(\log_y(\log_x{y})<\log_y1\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\log_x{y}<1\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\log_x{y}<\log_x{x}\).

W drugim etapie dowiedliśmy, że \(y>1\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x>1\), zatem:

\(\log_x{y}<\log_x{x}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(y<x\).

Ostatecznie, uwzględniając nierówności uzyskane w poprzednich etapach otrzymujemy zbiór punktów zaprezentowanych na rysunku: