You have earned 2 point(s) out of 6 point(s) thus far.

Przy rozwiązywaniu równań zespolonych w postaci wykładniczej korzystamy z tego, że dwie niezerowe liczby zespolone  są równe wtedy i tylko wtedy gdy ich moduły są równe a argumenty różnią się o wielokrotność \(2\pi\),  tzn.  \(z_1=r_1e^{\;i\varphi_1}\) oraz \(z_2=r_2e^{\;i\varphi_2}\), gdzie \(r_1\), \(r_2\geqslant 0\) oraz \(\varphi _1\), \(\varphi _2 \in \mathbb{R}\), są równe wtedy i tylko wtedy, gdy   \(r_1=r_2\)   oraz   \(\varphi _1=\varphi _2+2k\pi \)  dla pewnego \(k\in \mathbb{Z}\).

     

Przykład 1

Stosując postać wykładniczą rozwiązać równanie:

\(z ^ { 5 } =\bar{z}\),

ROZWIĄZANIE  

Liczba \(z=0\) spełnia równanie  \(z ^ { 5 } =\bar{z}\).  

Niech  \(z=re^{\;i\varphi}\),  gdzie  \(r>0\),  \(0 \leq 2 \varphi <\pi\).  Wówczas  \(\bar{z}=re^{\;-i\varphi}\)  oraz ze wzoru de Moivre'a  \(z ^ { 5 }=r^5e^{\;5i\varphi}\)  więc

\(z ^ { 5 } =\bar{z}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(r^5e^{\;5i\varphi}=re^{\;-i\varphi}\)    \(\Leftrightarrow\)   \(\begin{cases} { r ^ { 5 } = r } \\ { 5\varphi = -\varphi+2 k \pi, \; k \in \mathbb{Z}} \end{cases}\)     \(\Leftrightarrow\)    \(\begin{cases} { r = 0 \vee r = 1 } \\ {\varphi=\dfrac {k \pi } { 3 }, \;\;k=0,1,2,3,4,5.} \end{cases}\)

Odp. Rozwiązaniem równania  \(z ^ { 5 } =\bar{z}\)  są liczby  \(z=0\),  \(z=e^{\;i\frac {\pi } { 3 }}\), \(z=e^{\;i\frac {2\pi } { 3 }}\), \(z=e^{\;i\pi }\), \(z=e^{\;i\frac {4\pi } { 3 }}\) oraz \(z=e^{\;i\frac {5\pi } { 3 }}\).

    

Przykład 2

Stosując postać wykładniczą rozwiązać równanie:\(\begin{vmatrix} { z ^ { 2 } } \end{vmatrix} z = (\bar{z}) ^ { 3 } \cdot i\)

ROZWIĄZANIE 

Liczba \(z=0\) spełnia równanie  \(\begin{vmatrix} { z ^ { 2 } } \end{vmatrix} z = (\bar{z}) ^ { 3 } \cdot i\). 

Niech  \(z=re^{\;i\varphi}\),  gdzie  \(r>0\),  \(0 \leq \varphi <2\pi\).  Wówczas  \((\bar{z})^3=r^3e^{\;-3i\varphi}\).

\(\begin{vmatrix} { z ^ { 2 } } \end{vmatrix} z = (\bar{z}) ^ { 3 } \cdot i\)   \(\Leftrightarrow\)   \(r ^ { 2 } \cdot r e ^ { i \varphi} = r ^ { 3 } e ^ { - 3 i \varphi} \cdot e ^ { i \frac { \pi } { 2 } }\)    \(\Leftrightarrow\)    \(r ^ { 3 } e ^ { i\varphi } = r ^ { 3 } e ^ { i \left( - 3\varphi + \frac { \pi } { 2 } \right) }\)    \(\Leftrightarrow\)   \(\begin{cases} { r ^ { 3 } = r ^{3} } \\ {\varphi = -3\varphi+ \dfrac { \pi } { 2 }+2 k \pi, \; k \in \mathbb{Z}} \end{cases}\)    \(\Leftrightarrow\)     \(\begin{cases} {r\in \left( 0, \infty \right)} \\ {\varphi=\dfrac {\pi } { 8 }+\dfrac {k\pi } { 2 }, \;\;k=0,1,2,3.} \end{cases}\)

Rozwiązaniem są cztery proste nachylone do osi \(Re\; z\) odpowiednio pod kątami   \(\dfrac {\pi } { 8 }\) oraz  \(\dfrac {5\pi } { 8 }\).