Interpretacja geometryczna zbiorów liczb zespolonych

  MODUŁ LICZBY ZESPOLONEJ

Pierwszym pojęciem związanym z interpretacją geometryczną liczby zespolonej jest pojęcie modułu liczby zespolonej. Przypomnijmy definicję modułu liczby zespolonej.

Modułem liczby zespolonej \(z=x+iy\), gdzie \(x, y \in \mathbb{R} \), nazywamy liczbę rzeczywistą (nieujemną) \(\left| { z } \right|\)  określoną wzorem  \(\left| { z } \right| = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }\).

Rozpatrzmy równanie w postaci   \(\begin{vmatrix} { z - z _ { 0 } } \end{vmatrix} = r\).

Zastanówmy się jak jest interpretacja geometryczna powyższego równania.

Niech \(z = x + i y\)  oraz  \(z _ { 0 }= x _ { 0 }+ i y_ { 0 }\),  gdzie \(x, y, x_{0}, y_{0} \in \mathbb{R} \).

Podstawiamy \(z = x + i y\)  oraz  \(z _ { 0 }= x _ { 0 }+ i y_ { 0 }\)  do równania    \(\begin{vmatrix} { z - z _ { 0 } } \end{vmatrix} = r\)   i otrzymujemy

\(\begin{vmatrix} { x + i y - x _ { 0 } - i y _ { 0 } } \end{vmatrix} = r \Leftrightarrow \sqrt { \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \left( y - y _ { 0 } \right) ^ { 2 } } = r\) \(\Leftrightarrow \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \left( y - y _ { 0 } \right) ^ { 2 } = r ^ { 2 }\)

Jest to równanie okręgu o środku w punkcie  \(\left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)\) i promieniu  \(r\).

A więc równanie  \( \begin{vmatrix} { z - z _ { 0 } } \end{vmatrix} = r\)  jest równaniem okręgu o środku w punkcie  \(z_{0}\)  i promieniu  \(r\).         

Zapamiętaj - interpretacja geometryczna równań i nierówności z wartością bezwzględną        

      

                                     

       

                                   

 

  ARGUMENT LICZBY ZESPOLONEJ

Kolejnym pojęciem związanym z interpretacją geometryczną liczby zespolonej jest pojęcie argumentu liczby zespolonej. Przypomnijmy pojęcie argumentu głównego liczby zespolonej.

Argumentem głównym liczby zespolonej \(z\) (oznaczamy \(arg\;z\)) nazywamy argument \(\varphi \) tej liczby spełniający nierówności  \(0\leq \varphi <2\pi \;\). Przyjmujemy, że argumentem głównym liczby \(z=0\) jest \(0\).