Funkcje wykładnicze i logarytmiczne w ujęciu historycznym.

Funkcje wykładnicze.

Pierwsze wzmianki dotyczące funkcji wykładniczych wywodzą się już ze starożytnego Babilonu - pojęcie to, w naturalny sposób pojawiło się dla uproszczenia zapisu rachunków, w których dana liczba była mnożona przez siebie samą.

Intuicje związane z pojęciem funkcji wykładniczej można znaleźć też w słynnej historii o szachownicy i zbożu:

W czasach nowożytnych badania nad funkcjami wykładniczymi zostały zainicjowane rozważaniami dotyczącymi porównania własności ciągu  liczb naturalnych oraz kolejnych potęg naturalnych przy tej samej podstawie. Kontekstowi temu zawdzięcza się nazwę "funkcji eksponencjalnej" (od łacińskich słów "expo" odpowiadającego przyimkowi "z" oraz "ponere" tłumaczonemu jako "umieścić"), która po raz pierwszy pojawiła się w roku 1544 w dziele niemieckiego matematyka Michaela Stifela zatytułowanym Arithmetica integra. 

Współczesna notacja związana z pojęciem potęgowania została wprowadzona w roku 1637 przez Kartezjusza w książce Géométrie. 

Szeroka gama zjawisk, od fizycznych po ekonomiczne i społeczne jest opisywalna z pomocą funkcji wykładniczych. 

Za klasyczny przykład służyć tu może pojęcie procenta składanego:

Składamy na rachunek bankowy oprocentowany rocznie na \(\alpha\) procent kwotę \(x\). Jeśli kapitalizacja odsetek ma miejsce raz do roku, to po \(n\) latach uzyskujemy kwotę \((1+\alpha)^n x\). Jeżeli kapitalizacja odsetek ma miejsce \(k\) razy do roku, to po roku uzyskujemy kwotę \((1+\frac{\alpha}{k})^k x\), a po \(n\) latach kwotę    \(((1+\frac{\alpha}{k})^k )^n x\).

Dynamika  wzrostu funkcji wykładniczych, a co za tym idzie tempa zmian opisywalnych za jej pomocą zjawisk (w szczególności wspomnianego procenta składanego) bywa, zwłaszcza rozpatrywana w dłuższej perspektywie, bardzo nieintuicyjna. Jako przykład tego, jak mylne mogą okazać się  skojarzenia związane ze wzrostem wykładniczym można przytoczyć zagadnienie grubości wielokrotnie zginanej kartki:

Funkcje logarytmiczne.

W prezentowanym w ramach bieżącego kursu porządku matematycznym funkcje logarytmiczne są ściśle, jako odwrotne do tych, związane z funkcjami wykładniczymi. Historycznie, pojęcie funkcji logarytmicznej zrodziło się  w kontekście rozważań, które współcześnie zostałyby zaliczone raczej w obręb analizy matematycznej, niż bezpośrednio, jak to ma miejsce w przypadku funkcji wykładniczych, związanych z działaniami arytmetycznymi. 

W dziełach Mirifici logarithmorum canonis descriptio [Opis zdumiewającej zasady logarytmów] (1614) oraz Mirifici logarithmorum canonis constructio [Konstrukcja zdumiewającej zasady logarytmów] (1619) szkocki baron John Napier opublikował opis  konstrukcji (szczegółowy opis tutaj), która stała się następnie impulsem dla stworzenia przez Henrego Briggsa (1561-1631) pierwszych tablic logarytmów dziesiętnych.

Znane (a zarazem przypominane w ramach bieżącego kursu) własności logarytmów pozwalają zamieniać działania iloczynu, ilorazu i potęgi argumentów logarytmu na prostsze rachunkowo działania sumy, różnicy i następnie wielokrotności. Fakt ten znalazł zastosowanie w wynalazku suwaka logarytmicznego, który do czasów rozpowszechnienia kalkulatorów stanowił istotne inżynierskie narzędzie.

Liczba e

Wróćmy jeszcze na moment do przedstawionej powyżej idei procenta składanego. 

Przypuśćmy, że mamy do czynienia z kapitalizacją ciągłą, tzn. w dowolnie krótkim przedziale czasowym (minucie, sekundzie itd. ) kapitalizacja dokonuje się choć raz. Pojęcie takie, choć oczywiście jest idealizacją, odpowiada jednak na praktyczne pytanie o graniczną wartość rocznego zysku z lokaty przy danym oprocentowaniu \(\alpha\). Formalnie szukana wartość, zgodnie z przedstawionym wyżej modelem, jest granicą wyrażenia:

\(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{\alpha}{n})^n x\)

W roku 1683 Jacob Bernoulli wykazał, że granica powyższego ciągu istnieje, oszacował też, że jej wartość (dla  \(\alpha\) oraz \(x\) równych \(1\) ) to liczba między \(2\) i \(3\). Dalsze badania doprowadziły Bernoulliego następnie do odkrycia związku pomiędzy pojęciem logarytmu uwikłanym w definicji Napiera, a funkcją wykładniczą.

Nazwa liczby Eulera została nadana z uwagi na badania szwajcarskiego matematyka Leonardha Eulera (1707-1783), który wykazał, że zdefiniowana wcześniej przez Bernoulliego wartość jest równa także granicom:

e = 1 + ¹/_1! + ¹/_2! + ¹/_3! + ...

oraz

a następnie oszacował ją do 18 tego miejsca po przecinku:

e = 2.718281828459045235...

Euler też, był pierwszym, który zaproponował współczesną notację liczby \(e\).