Potęgowanie - podstawowe definicje.

W zapisie: 

\(a^b\) 

symbol \(a\) oznacza podstawę potęgi, \(b\) jej wykładnik.

W trakcie trwania tego kursu, będziemy dla wygody zakładać, że najmniejszą liczbą naturalna jest  \(1\).

Innymi słowy:

\(\mathbb N=\{1,2,3\ldots\}\)

Przyjmiemy również odmienne w stosunku do szkolnego oznaczenie zbioru liczb całkowitych. Mianowicie:

\(\mathbb Z = \{...-2,-1,0,1,2,...\}\)

Niech \(a\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą.

Potęgę liczby \(a\) o wykładniku naturalnym definiujemy rekurencyjnie:

\(a ^ { n } = \begin{cases} { a ,\qquad\quad\text{dla } n=1} \\ {a\cdot a ^ { n - 1 } , \text{ dla }n>1, n\in\mathbb{N}} \end{cases}\) 


Nieco mniej formalnie:

\(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots \cdot a}_n\).

Dla pełności wywodu wspomnimy o powszechnie stosowanej konwencji nazewniczej:

Gdy wykładnik jest jednocześnie liczbą naturalną korzystamy z wcześniejszego określenia.

Gdy wykładnik jest liczbą całkowitą niedodatnią, to przyjmujemy:

\(a ^ { -n } = \begin{cases} { 1 ,\qquad\text{ dla } n=0} \\ {\frac{1}{a^{n }} ,\qquad \text{dla }n>0} \end{cases}\) 

 Jak widzimy potęga o wykładniku całkowitym ujemnym została określona za pomocą potęgi o wykładniku naturalnym dodatnim.

Definicję pierwiastka rozbijemy na dwa etapy:

Pierwiastek stopnia parzystego

Pierwiastkiem parzystego stopnia z liczby nieujemnej \(a\) (co zapisujemy w skrócie \(\sqrt[n]{a}\) gdzie stopień pierwiastka \(n\) jest naturalną liczbą parzystą) nazywamy nieujemną liczbę \(b\), t. że \(b^n=a\).

Formalnie, dla \(a,b\geq 0\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n\) parzystej, mamy:

\(\sqrt[n]{a}=b\)  wtedy i tylko wtedy, gdy  \(b^n=a\)

Dla \(n=2\) piszemy na ogół \(\sqrt{a}\) (pomijamy stopień pierwiastka).

 Warto zwrócić uwagę na założenie nieujemności liczb \(b\) oraz \(a\). Z tego powodu np. \(\sqrt{4}\neq -2\) mimo, że \((-2)^2=4\) a \(\sqrt{-1}\) w świetle powyższych założeń nie reprezentuje żadnej liczby rzeczywistej.

Pierwiastek stopnia nieparzystego

Pierwiastkiem nieparzystego stopnia z liczby rzeczywistej \(a\) (notujemy jak poprzednio \(\sqrt[n]{a}\)) nazywamy liczbę rzeczywistą \(b\), taką, że \(b^n=a\)

Tutaj, podobnie jak poprzednio, dla \(a,b\in\mathbb{R}\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n\) nieparzystej mamy:

 \(\sqrt[n]{a}=b\)  wtedy i tylko wtedy, gdy  \(b^n=a\)

 Na koniec zbierzemy uwagi dotyczące konwencji notacyjnych związanych z pojęciem pierwiastka.

Gdy wykładnik jest jednocześnie liczbą całkowitą, to korzystamy z wcześniejszych definicji.

Gdy \(q=\frac{m}{n}\), jest ułamkiem takim, że \(m\in Z\), \(n\in N\) oraz \(a\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią, to:

\(a ^ { q } = \sqrt[n]{a^m}\) 

Gdy \(n\) jest liczbą nieparzystą,  \(m\neq 0\), a \(q\) jest ułamkiem nieskracalnym (tzn. \(m\) i \(n\) są względnie pierwsze), to potęgę  \(a^q\) możemy zdefiniować również dla \(a\leq 0\):

\(a^{q}=-{(-a)^{q}}\)

Kolejne wyrażenia zapisz jako potęgi o wykładnikach wymiernych:

1. \(\sqrt[ 5 ] { 7 }\)
2. \((\sqrt{11})^3\)
3. \(\frac{1}{\sqrt[3]{4}}\)
4. \(\sqrt[7]{-3}\)

1. \(7^{\frac{1}{5}}\)
2. \(11^{\frac{3}{2}}\)
3. \(4^{-\frac{1}{3}}\)
4. \((-3)^{\frac{1}{7}}\)

Gdy wykładnik ten jest jednocześnie liczbą wymierną, to korzystamy z wcześniejszych definicji.

Można również określić potęgi o podstawie nieujemnej i wykładniku niewymiernym.  Przykłady takich potęg: \(0^{\sqrt{3}}\), \(2^{\sqrt{2}}\), \((\frac{2}{3})^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\), \((\sqrt{5})^{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\), \(1^{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\). Dla \(0\) i \(1\) możemy podać dokładnie wartości: \(0^{\sqrt{3}}=0\),  \(1^{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=1\). Dla pozostałych podstaw przybliżone: \(2^{\sqrt{2}}=2^{1,4}=2^{\frac{7}{5}}=\sqrt[5]{2^7}=2\cdot{\sqrt[5]{4}}\approx 2,64\).

Definicja potęgi o wykładniku rzeczywistym opiera się na przybliżaniu wartości potęgi o wykładniku niewymiernym \(x\) za pomocą potęg o wykładnikach wymiernych bliskich \(x\). Definicja ta ma bardzo techniczny charakter i jej dokładna znajomość nie jest niezbędna w dalszej części kursu. Przykład takiej definicji można znaleźć poniżej: