Własności działań na potęgach
Własności działań na potęgach
Iloczyn i iloraz potęg o tym samym wykładniku
Jeżeli \(a\), \(b\), \(x\) są takie, że wszystkie występujące poniżej wyrażenia mają sens, zachodzi:
\(a^x\cdot b^x=(ab)^x\)
\(\frac{a^x}{b^x}=(\frac{a}{b})^x\)
Przykłady
Kliknij tutaj jeżeli chcesz się zapoznać z dodatkowymi przykładami.
- \(2^3\cdot 3^3=(2\cdot 3)^3=6^3\)
- \((\frac{2}{3})^5\cdot 3^5=(\frac{2}{3}\cdot 3)^5=2^5=32\)
- \((\sqrt{10}-3)^8\cdot (\sqrt{10}+3)^8=((\sqrt{10}-3)\cdot(\sqrt{10}+3))^8=(10-9)^8=1^8=1\)
- \(\frac{8^5}{4^5}=(\frac{8}{4})^5=2^5=32\)
- \(\frac{4^{\frac{1}{3}}}{32^{\frac{1}{3}}}=(\frac{4}{32})^{\frac{1}{3}}=(\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\)
Iloraz i iloczyn potęg o tych samych podstawach
Jeżeli \(a\), \(x\), \(y\) są takie, że wszystkie wyrażenia poniżej mają sens zachodzi:
\(a^x\cdot a^y = a^{x+y}\)
\(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}\)
Przykłady
Kliknij tutaj jeżeli chcesz się zapoznać z dodatkowymi przykładami.
- \(2^2\cdot 2^5=2^{2+5}=2^7=128\)
- \(\frac{2^5}{2^2}=2^{5-2}=2^3=8\)
- \((\frac{2}{3})^3:(\frac{2}{3})^5=(\frac{2}{3})^{3-5}=(\frac{2}{3})^{-2}=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}\)
Potęga potęgi
Jeżeli \(a\), \(x\), \(y\) są takie, że wszystkie wyrażenia poniżej mają sens zachodzi:
\((a^x)^y=a^{x\cdot y}\)
Przykłady
Kliknij tutaj jeżeli chcesz się zapoznać z dodatkowymi przykładami.
- \((2^2)^3=2^{2\cdot 3}=2^6\)
- \(((\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}})^3=(\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}\cdot 3}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\)
- \((3^{-3})^{-2}=3^{(-3)\cdot(-2)}=3^6\)
Tak, jak to zostało pokazane w trakcie definiowania potęgi, szczególnym jej przypadkiem jest pierwiastek. W materiałach dodatkowych zostało zaprezentowane to, jak powyższe własności stosują się do pierwiastków.
Materiały dodatkowe - własności działań na pierwiastkach (kliknij tutaj, żeby rozwinąć)
Niech \(a\), \(b\), \(n\), \(m\), będą takie, że wszystkie prezentowane poniżej działania i operacje są wykonalne. Zachodzi wtedy:
\(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}\)
Przykłady
Kliknij tutaj jeżeli chcesz się zapoznać z dodatkowymi przykładami.
- \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4\)
- \(\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 4}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{4}=2\sqrt{2}\)
- \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{2}{8}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\)
- \(\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{16}{2}}=\sqrt[3]{8}=2\)
- \(\sqrt{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[2\cdot 3]{2}=\sqrt[6]{2}\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{8}{27}}}=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{8}{27}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Pierwiastki możemy też zamieniać na potęgi i wówczas wykonywać odpowiednie przekształcenia korzystając z własności potęg.
Przykład
Kliknij tutaj jeżeli chcesz się zapoznać z dodatkowym przykładem.
\(\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2}= 2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=2^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{2^5}=\sqrt[6]{32}\)
