Logarytm - definicja i własności
Logarytm - definicja i własności
Logarytm jest działaniem odwrotnym do potęgowania.
Definicja
Niech \(a\), \(x\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi oraz niech \(a\neq 1\).
Wtedy logarytm o podstawie \(a\) z \(x\) jest to liczba \(c\) taka, że:
\(\log_ a{x} = c \quad\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\quad a ^ c= x\)
W powyższym zapisie \(a\) nazywamy podstawą logarytmu, podczas gdy zmienna \(x\) jest nazywana argumentem logarytmu.
Oznaczenia, które zostały przedstawione powyżej, są modyfikowane dla logarytmów o dwóch wyróżnionych podstawach:
- Dla \(a=e\) (określenie i definicję liczby \(e\) znajdziesz tutaj) przyjmuje się oznaczenie:
\(\log_e{x}=\ln{x}\)
logarytm o podstawie \(e\) nazywamy logarytmem naturalnym.
- Dla \(a=10\) funkcjonuje oznaczenie:
\(\log_{10}{x}=\log{x}\)
Logarytm o podstawie \(10\) nosi nazwę logarytmu dziesiętnego.
Przykłady
Kliknij tutaj, jeżeli chcesz się zapoznać z pomocniczymi przykładami.
- \(\log_{2}{8}=3\) bo \(2^3=8\)
- \(\log_{\frac{1}{3}}{9}=-2\) bo \((\frac{1}{3})^{-2}=9\)
- \(\log_{\sqrt{2}}{1}=0\) bo \((\sqrt{2})^0=1\)
- \(\log_{3}{3}=1\) bo \(3^1=3\)
- \(\log{0,001}=-3\) bo \(10^{-3}=0,001\)
- \(\ln{\sqrt{e}}=\frac{1}{2}\) bo \(e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}\)
Pytanie
Z jakiego powodu w powyższej definicji logarytmu zakłada się, że \(a\neq 1\)?
Odpowiedź
Gdyby \(a\) było równe \(1\), to:
- dla \(x\neq 1\) logarytm \(log_{a}{x}\) by nie istniał.
- dla \(x=1\) logarytm \(log_{a}{x}\) nie byłby jednoznaczne określony.
Wymienimy teraz własności logarytmu. Dla większej czytelności zapisów wszędzie tam, gdzie to możliwe pominiemy dokonywanie założeń przyjmując, że wszystkie wyrażenia poniżej mają sens. Przedstawiane własności będą opatrywane dowodami - pokazują one związek pomiędzy potęgami a logarytmami. Lektura dowodów nie jest konieczna dla dalszego uczestnictwa w kursie.
Pierwsza z prezentowanych tu własności wskazuje zależność między potęgą i logarytmem o tych samych podstawach.
Własność 1
\(a^{\log_a{b}}=b\)
Dowód i przykłady
Stosują definicję logarytmu dla oczywistej równości \(\log_a{b}=\log_a{b}\) otrzymujemy, że \(a^{\log_a{b}}=b\) (\(\log_a{b}=c \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( a^c=b\), za \(c\) podstawiamy \(\log_a{b}\)).
Przykłady
\(3^{\log_3{2}}=2\)
\(2^{\log_2{3}}=3\)
Kolejne dwie własności dotyczą logarytmów, w których do potęgi podnosi się kolejno argument i podstawę logarytmu.
Własność 2
\(log_a{b^p}=p\cdot log_a{b}\)
Dowód i przykłady
Zgodnie z definicją logarytmu \(\log_a{b^p}=p\log_a{b}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a^{p\log_a{b}}=b^p\). Ale \(a^{p\cdot \log_a{b}}=(a^{\log_a{b}})^p=b^p\). Skorzystaliśmy tutaj z własności 1.
Przykłady
\(\log_2{9}=\log_2{3^2}=2\cdot \log_2{3}\)
\(3\cdot \log_3{2}=\log_3{2^3}=\log_3{8}\)
Własność 3
\(\log_{a^p}b=\frac{1}{p}\log_a{b}\)
Dowód i przykłady
Mamy, że \(\log_{a^p}b = \frac{1}{p}\log_a{b}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \((a^p)^{\frac{1}{p}\log_a{b}}=b\). Jest to spełnione, gdyż \((a^p)^{\frac{1}{p}\log_a{b}}=a^{p\cdot \frac{1}{p}\log_a{b}}=a^{\log_a{b}}=b\). Skorzystaliśmy z własności 1 oraz własności potęg.
Przykłady
\(\log_8{3}=\log_{2^3}3=\frac{1}{3}\log_2{3}\)
\(\frac{1}{2}\log_3{5}=\log_{3^2}5=\log_9{5}\)
Następna własność mówi, że suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu:
Własność 4
\(\log_a{b}+\log_a{c}=\log_a{bc}\)
Dowód i przykłady
Zgodnie z definicją logarytmu \(\log_a(bc)=\log_a{b}+\log_a{c}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a^{\log_a{b}+\log_a{c}}=bc\). Jest to prawdą, gdyż \(a^{\log_a{b}+\log_a{c}}=a^{\log_a{b}}\cdot a^{\log_a{c}}=bc\). Skorzystaliśmy z własności 1 oraz własności potęg.
Przykłady
\(\log{2}+\log{5}=\log{2\cdot 5}=\log{10}=1 \) (bo \(10^1=10\))
\(\log_2{6}=\log_2(2\cdot 3)=\log_2{2}+\log_2{3}=1+\log_2{3}\)
Kolejna własność stwierdza fakt, że różnica logarytmów równa się logarytmowi różnicy.
Własność 5
\(\log_a{b}-\log_a{c}=\log_a{\frac{b}{c}}\)
Dowód i przykłady
Zgodnie z definicją logarytmów \(\log_a{\frac{b}{c}}=\log_a{b}-\log_a{c}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a^{\log_a{b}-\log_a{c}}=\frac{b}{c}\). Jest to spełnione, gdyż \(a^{\log_a{b}-\log_a{c}}=\frac{\log_a{b}}{\log_a{c}}=\frac{b}{c}\). Skorzystaliśmy z własności 1 oraz własności potęg.
Dowód ten można też przeprowadzić inaczej: \(\log_a{b}-\log_a{c}=\log_a{b}+(-\log_a{c})=\log_a{b}+\log_a{c^{-1}}=\log_a(b\cdot c^{-1})=\log_a{\frac{b}{c}}\). Skorzystaliśmy tu z własności 2 i 4.
Przykłady
\(\log_5{10}-\log_5{2}=\log_5{\frac{10}{2}}=\log_5{5}=1\)
\(\log_2{\frac{8}{3}}=\log_2{8}-\log_2{3}=3-\log_2{3}\)
Następna własność nazywana jest wzorem na zamianę podstawy logarytmu.
Własność 6
\(\log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}\)
Dowód i przykłady
\(\log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\log_a{b}\cdot \log_c{a}=\log_a{b}\), co zgodnie z definicją logarytmu oznacza, że \(c^{\log_a{b}\cdot \log_c{a}}=b\). Ale \(c^{\log_a{b}\cdot \log_c{a}}=(c^{\log_c{a}})^{\log_a{b}}=a^{\log_a{b}}=b\) czyli równość jest spełniona. Skorzystaliśmy z własności 1 oraz własności potęg.
Przykłady
\(\log_{\sqrt{2}}\sqrt[3]{2}=\frac{\log_2{\sqrt[3]{2}}}{\log_2{\sqrt{2}}}=\frac{\log_2{2^{\frac{1}{3}}}}{\log_2{2^{\frac{1}{2}}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\)
\(\log_{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\log_3{\sqrt{3}}}{\log_3{\sqrt[3]{3}}}=\frac{\log_3{3^{\frac{1}{2}}}}{\log_3{3^{\frac{1}{3}}}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\)
Kolejna z prezentowanych tu własności jest szczególnym przypadkiem poprzedniej.
Własność 7
Dowód i przykłady
Dowód opiera się na własności 6: \(\log_a{b}=\frac{\log_b{b}}{\log_b{a}}=\frac{1}{\log_b{a}}\).
Przykłady
\(\log_{2\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\log_2{2\sqrt{2}}}=\frac{1}{\log_2{2}+\log_2{\sqrt{2}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\)
\(\log_{3\cdot \sqrt[3]{3}}{3}=\frac{1}{\log_3(3\cdot \sqrt[3]{3})}=\frac{1}{\log_3{3}+\log_3{\sqrt[3]{3}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\)
Ostatnią własność prezentujemy głównie z uwagi na elegancję dowodu.
\(a^{\log_b{c}}=c^{\log_b{a}}\)
Dowód i przykład
Obłóżmy obie strony wywodzonej równości logarytmem o podstawie \(b\).
\(\log_b{(a^{\log_b{c}})}=\log_b{(c^{\log_b{a}})}\)
Korzystając teraz z własności 2 otrzymujemy:
\(\log_b{c}\cdot \log_b{a}=\log_b{a}\cdot \log_b{c}\)
ostatnia tożsamość dowodzi prawdziwości własności 8.
Przykład
\(10^{\ln_2}\cdot 2^{\ln{10}}=10^{\ln{2}}\cdot 2^{\ln{10^{-1}}}=10^{\ln{2}}\cdot 2^{-\ln{10}}=10^{\ln{2}}\cdot (2^{\ln{10}})^{-1}=10^{\ln{2}}\cdot (10^{\ln{2}})^{-1}=1\)