Wykresy funkcji wykładniczych i logarytmicznych
Wykresy funkcji wykładniczych i logarytmicznych
Wykresy funkcji logarytmicznych i wykładniczych
Rozważać tu będziemy wykresy funkcji, które są przekształceniami funkcji wykładniczych oraz logarytmicznych.
Pierwszym krokiem rysowania wykresu takiej funkcji jest sporządzenie wykresu należącego do jednego z czterech prezentowanych poniżej typów:
Wykres funkcji wykładniczej
Wykres funkcji logarytmicznej
Kolejne kroki podyktowane są regułami zaprezentowanymi poniżej:
- Wykres funkcji \(y=-f(x)\) powstaje przez odbicie symetryczne wykresu funkcji \(f\) względem osi OX.
- Wykres funkcji \(y=f(-x)\) powstaje przez odbicie symetryczne wykresu funkcji \(f\) względem osi OY.
- Wykres funkcji \(y=-f(-x)\) powstaje przez odbicie symetryczne wykresu funkcji \(f\) względem początku układu współrzędnych (co jest równoważne odbiciu symetrycznie względem osi OX a następnie OY lub odwrotnie).
- Wykres funkcji \(y=f(x-a)\), gdzie \(a>0\), powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji \(f\) wzdłuż osi OX o \(a\) w prawo, natomiast funkcji \(y=f(x+a)\) o \(a\) w lewo.
- Wykres funkcji \(y=f(x)+b\), gdzie \(b>0\), powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji \(f\) wzdłuż osi OY o \(b\) w górę, natomiast funkcji \(y=f(x)-b\) o \(b\) w dół.
- Wykres funkcji \(y=|f(x)|\) powstaje przez zachowanie tego fragmentu wykresu funkcji \(f\), który znajduje się powyżej osi OX i odbicie symetryczne tej części wykresu funkcji \(f\), która jest poniżej osi OX względem tej osi (tę część wykresu funkcji , która była poniżej osi OX usuwamy).
- Wykres funkcji \(y=f(|x|)\) powstaje przez zachowanie tego fragmentu wykresu funkcji \(f\), który znajduje się po prawej stronie osi OY i jego odbicie symetryczne względem osi OY (tę część wykresu funkcji \(f\), która była po lewej stronie osi OY usuwamy).
Rysowanie wykresu funkcji może wymagać zastosowania kilku z powyższych przekształceń wykonanych w odpowiedniej kolejności.
W trakcie przekształcania wykresu funkcji należy przekształcić najpierw jej asymptotę, a dopiero później sam wykres.
W niektórych przypadkach poza siedmioma regułami przekształcania wykresów funkcji opisanymi powyżej, niezbędne też bywa skorzystanie z kolejnych, które zilustrujemy na przykładzie przekształceń funkcji logarytmicznej:
Przekształcenie \(y=a\cdot f(x)\), gdzie \(a>0\), zmienia wykres funkcji w pionie (zwęża dla \(a<1\), rozszerza dla \(a>1\)).
Przekształcenie \(y=f(a\cdot x)\), gdzie \(a>0\), zmienia wykres funkcji w poziomie (zwęża dla \(a>1\), rozszerza dla \(a<1\)).
