Ta część e-kursu poświęcona zostanie zebraniu własności funkcji wykładniczych i logarytmicznych pomocnych przy rozwiązywaniu równań i nierówności logarytmicznych i wykładniczych, oraz prezentacji najużyteczniejszych metod rozwiązywania omawianych równań i nierówności.

1) Równania wykładnicze i logarytmiczne

Podstawową własnością użyteczną dla rozwiązywania równań i nierówności wykładniczych i logarytmicznych jest różnowartościowość obu typów funkcji:

  • Różnowartościowość funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Przypomnijmy warunek różnowartościowości :

(f(x)=f(y)) \to x=y

Wynika z niego w szczególności, że równanie, którego obie strony są wartościami  ustalonej funkcji wykładniczej lub logarytmicznej można równoważnie zastąpić takim, w którym przyrównywane są jej argumenty.

PrzykładKliknij tutaj, jeżeli chcesz się zapoznać z pomocniczym przykładem

Rozwiąż równanie:

\(log_7{(x^2+1)}=\log_7{2x}\)

Rozwiązanie:

Ustalimy najpierw dziedziny obu stron równania. W tym celu należy rozwiązać dwie nierówności:

x^2+1>0 oraz 2x>0.

Pierwsza z nierówności spełniona jest dla każdej liczby rzeczywistej, druga tylko przez liczby dodatnie. W rezultacie otrzymujemy, że równanie ma sens dla argumentów należących do \(\mathbb R_+\).

Przejdźmy do rozwiązania równania:

Jako, że  \(y=\log_7(x)\) jest funkcją różnowartościową, możemy ją w badanej równości pominąć. Otrzymujemy wtedy:

x^2+1=2x

x^2-2x+1=0

(x-1)^2=0

x=1

 

Zapamiętaj - to jest ważne

Rozwiązując równania logarytmiczne i wykładnicze pamiętaj, że możesz pominąć logarytm (czy też potęgę), tylko, gdy wyrażenia po obu stronach są wartościami jednej i tej samej funkcji.

Przykłady równań, które musisz przekształcić przed opuszczeniem logarytmu (bądź potęgi):

\(3\log_6{4}=\log_6{(7x-1)}\)  - musisz pozbyć się czynnika \(3\) po lewej stronie równania. Można to zrobić włączając go do argumentu logarytmu jako jego potęgę:

\(\log_6{(4^3)}=\log_6{(7x-1)}\)

\(\log_2{5}+\log_2{3x}=\log_2{x}\)  Na tym etapie nie można opuścić logarytmów, należy najpierw pozbyć się sumy po lewej stronie:

\(\log_2{5\cdot 3x}=\log_2{x}\)

\(2^{x+3}=4^{x}\)  Żeby rozwiązać to równanie należy ujednolicić podstawy potęg po obu stronach:

\(2^{x+3}=(2^2)^x\)

\(2^{x+3}=2^{2x}\)

\(4\cdot 2^x=2^{3x}\)  Poradzimy sobie najpierw z czynnikiem \(4\) po lewej stronie:

\(2^2\cdot 2^x = 2^{3x}\)

\(2^{2+x}=2^{3x}\)

 

  •  Rozwiązywanie równań wykładniczych i logarytmicznych z użyciem podstawienia

Duża część równań wykładniczych i logarytmicznych jest przekształcalna do postaci:

\(f(a^x)=0\), bądź \(f(\log_a{x})=0\).

Użyty powyżej symbol funkcyjny \(f\) koduje z reguły funkcję wielomianową (w praktyce najczęściej jest to trójmian kwadratowy ).

 Prezentacja przykładów najskuteczniej unaoczni powyższe zależności: 

PrzykładyKliknij tutaj, jeżeli chcesz się zapoznać z pomocniczymi przykładami.

Zadanie 1

Rozwiąż równanie:

2^{2x+1}+2^{x+2}-2^4=0

Odpowiedź

Zauważmy po pierwsze, że powyższe równanie jest określone dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Przekształćmy dwa pierwsze składniki lewej strony równania w ten sposób, żeby wyodrębnić czynnik 2^x :

2^{2x+1}+2^{x+2}-2^4=2^1\cdot 2^{2x}+2^2\cdot 2^x-16=2\cdot (2^x)^2+4\cdot 2^x-16

Dokonajmy podstawienia:

t=2^x .

Otrzymujemy równanie kwadratowe:

2t^2+4t-16=0 ,

którego pierwiastki to t_1=-4 oraz t_2=2 . 

Pierwiastek t_1 wykluczamy z uwagi na to, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x mamy: t=2^x>0 .

Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie:

2^x=2 , czyli x=1

Zadanie 2

Rozwiąż równanie:

\log_3{x^2}+(\log_3{x})^2=0

Odpowiedź

Dziedziną naszego równania jest zbiór \mathbb R_+ .

Przekształcimy lewą stronę równania:

\log_3{x^2}+(\log_3{x})^2=2\log_3{x}+(\log_3{x})^2 .

Dokonamy podstawienia:

t=\log_3{x} .

Otrzymujemy:

2t+t^2=0

t(2+t)=0

t=0  lub t=-2 .

Finalnie:

\log_3{x}=0  lub \log_3{x}=-2 , czyli:

x=1 lub x=\frac{1}{9} .

 

2) Nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych i logarytmicznych będziemy bazować głównie na monotoniczności obu typów funkcji:

1) Jeżeli \(0<a<1\), to dla \(x,y>0, c,b\in\mathbb R\):

\(\log_a{x}<\log_a{y}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x>y\),

oraz

\(a^x<a^y\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x>y\).

2) Jeżeli \(1<a\), to dla \(x,y>0, c,b\in\mathbb R\):

\(\log_a{x}<\log_a{y}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x<y\),

oraz

\(a^x<a^y\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x<y\).

Powyższe własności zastosowane do nierówności, w których obie strony to potęgi (logarytmy) o wspólnych podstawach mówią, że:

  1.  Jeżeli wspólna podstawa obu potęg (logarytmów) jest liczbą mniejszą niż \(1\), to odwracamy nierówność  porównując jedynie wykładniki (argumenty logarytmów) w obu wyrażeniach.
  2. Jeżeli wspólna podstawa obu potęg (logarytmów) jest liczbą większą niż \(1\), to zachowujemy nierówność porównując jedynie wykładniki (argumenty logarytmów) w obu wyrażeniach.

W wielu przypadkach, aby otrzymać nierówność tego typu jak tutaj omawianą, należy ujednolicić podstawy wyrażeń po obu stronach nierówności odwołując się do metod prezentowanych przy omawianiu technik rozwiązywania równań (przykłady w kolorowych ramkach).

PrzykładyKliknij tutaj, jeżeli chcesz się zapoznać z dodatkowymi przykładami

Zadanie 1

Rozwiąż nierówność:

\(2\log_x{(x-1)}<\log_x{x-1}+\log_x{3}\)

Odpowiedź

Określmy dziedzinę badanego równania:

Jako, że \(x\) jest podstawą logarytmu mamy, że \(x>0\) oraz \(x\neq 1\).

Dodatkowo, musimy założyć, że:

\(x-1>0\).

Dziedzina badanego wyrażenia jest wyznaczona koniunkcją obu warunków, czyli zbiór \((1,+\infty)\).

Rozwiążemy nierówność:

\(2\log_x{(x-1)}<\log_x{(x-1)}+\log_x3\)

W tym celu przekształcimy obie strony nierówności:

\(\log_x{(x-1)^2}<\log_x{3(x-1)}\)

\(\log_x{(x^2-2x+1)}<\log_x{(3x-3)}\)

Dziedzina badanego wyrażenia wymusza, że \(x>1\).

Mamy zatem, że:

\(x^2-2x+1<3x-3\)

\(x^2-5x+4<0\)

Powyższa nierówność kwadratowa jest spełniona dla \(x\in(1,4)\).

Zadanie 2

Rozwiąż nierówność:

\(x ^ { x } < x ^ { \sqrt { 2 } }\)

Odpowiedź

Dziedziną badanego wyrażenia jest zbiór \(\mathbb R_+\) - liczby niedodatnie są wykluczone z uwagi na wyrażenie \(x^{\sqrt{2}}\).

Rozważymy trzy przypadki:

1)\(0<x<1\)

Porównując wykładniki po obu stronach zmieniamy nierówność na przeciwną:

\(x>\sqrt{2}\) - sprzeczność z założeniem \(x<1\).

2)\(x=1\)

mamy: \(1^1=1^{\sqrt{2}}\) - nierówność nie jest spełniona.

3)\(x>1\)

Porównujemy wykładniki:

\(x<\sqrt{2}\).

Ostatecznie, rozwiązaniem wyjściowej nierówności jest zbiór \((1,\sqrt{2})\)

 

Ostatnia modyfikacja: poniedziałek, 28.09.2015, 12:36 PM