Równania w zbiorze liczb zespolonych
Równania w zbiorze liczb zespolonych
Przypomnijmy, że w przypadku rozwiązywania równania stopnia drugiego
\(\textcolor{red}{ax^2+bx+c=0}\),
(\(a, b, c \in \mathbb{R}\) oraz \(a \neq 0\)) w zbiorze liczb rzeczywistych mogą zachodzić trzy przypadki:
- \(\Delta = b ^ { 2 } - 4 a c>0\) mamy dwa rozwiązania,
- \(\Delta = b ^ { 2 } - 4 a c=0\) mamy jedno rozwiązanie,
- gdy \(\Delta = b ^ { 2 } - 4 a c<0\), to w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje rozwiązanie.
Zauważmy, że w zbiorze liczb zespolonych istnieją również pierwiastki z liczb rzeczywistych ujemnych.
Zapamiętaj - to jest ważne
Równanie stopnia drugiego
\(\textcolor{red}{a z ^ { 2 } + b z + c = 0}\),
gdzie \(a, b, c \in \mathbb{C}\) oraz \(a \neq 0\) rozwiązujemy w następujący sposób - obliczamy wyróżnik \(\Delta = b ^ { 2 } - 4 a c\) i stosujemy wzory:
\(\textcolor{red}{z _ { 1, 2 } = \dfrac { - b \pm \sqrt { \Delta } } { 2 a }}\).
Zauważmy, że w tym przypadku \(\sqrt { \Delta }\) zawsze istnieje. Są to dwie liczby różniące się znakiem (dla \(\Delta \neq 0\)).
Do wzoru na pierwiastki równania kwadratowego podstawiamy jedno z rozwiązań \(\sqrt { \Delta }\) (podstawiając drugie z rozwiązań otrzymamy te same wartości \(z _ { 1 } , z _ { 2 }\)).
Definicja
Definicja
Liczbę \(z_{0}\) nazywamy pierwiastkiem wielomianu \(w \left( z \right)\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\textcolor{red}{w \left( z _ { 0 } \right) = 0}\)
TWIERDZENIE
Jeżeli liczba zespolona
\(\textcolor{red}{z_{0}}\)
jest pierwiastkiem \(n-\)krotnym wielomianu \(w(z)\) o współczynnikach rzeczywistych, to liczba sprzężona
\(\textcolor{red}{\bar{z_{0}}}\)
jest także pierwiastkiem \(n-\)krotnym tego wielomianu.
TWIERDZENIE
Każdy wielomian \(w(z)\) stopnia \(n \geq 1\) o współczynnikach zespolonych ma \(n\) pierwiastków w zbiorze liczb zespolonych.
