Zarządzanie - Liczby zespolone 17/18: Równania w zbiorze liczb zespolonych

Przypomnijmy, że w przypadku rozwiązywania równania stopnia drugiego

$\textcolor{red}{ax^2+bx+c=0}$ ,

( $a, b, c \in \mathbb{R}$ oraz $a \neq 0$ ) w zbiorze liczb rzeczywistych mogą zachodzić trzy przypadki:

$\Delta = b ^ { 2 } - 4 a c>0$ mamy dwa rozwiązania,
$\Delta = b ^ { 2 } - 4 a c=0$ mamy jedno rozwiązanie,
gdy $\Delta = b ^ { 2 } - 4 a c<0$ , to w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje rozwiązanie.

Zauważmy, że w zbiorze liczb zespolonych istnieją również pierwiastki z liczb rzeczywistych ujemnych.

Zapamiętaj - to jest ważne

Równanie stopnia drugiego

$\textcolor{red}{a z ^ { 2 } + b z + c = 0}$ ,

gdzie $a, b, c \in \mathbb{C}$ oraz $a \neq 0$ rozwiązujemy w następujący sposób - obliczamy wyróżnik $\Delta = b ^ { 2 } - 4 a c$ i stosujemy wzory:

$\textcolor{red}{z _ { 1, 2 } = \dfrac { - b \pm \sqrt { \Delta } } { 2 a }}$ .

Zauważmy, że w tym przypadku $\sqrt { \Delta }$ zawsze istnieje. Są to dwie liczby różniące się znakiem (dla $\Delta \neq 0$ ).

Do wzoru na pierwiastki równania kwadratowego podstawiamy jedno z rozwiązań $\sqrt { \Delta }$ (podstawiając drugie z rozwiązań otrzymamy te same wartości $z _ { 1 } , z _ { 2 }$ ).

Definicja

Wielomianem zmiennej zespolonej

$z$ nazywamy funkcję postaci

$\color{red}{w \left( z \right) = a _ { n } z ^ { n } + a _ { n - 1 } z ^ { n - 1 } + ... + a _ { 2 } z ^ { 2 } + a _ { 1 } z + a _ { 0 }}$ ,

gdzie

$a _ { i } \in \mathbb{C}$ dla

$i = 0, 1, 2,\ldots , n$ oraz

$a _ { n } \neq 0$ .

Definicja

Liczbę $z_{0}$ nazywamy pierwiastkiem wielomianu $w \left( z \right)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\textcolor{red}{w \left( z _ { 0 } \right) = 0}$

TWIERDZENIE

Jeżeli liczba zespolona

$\textcolor{red}{z_{0}}$

jest pierwiastkiem $n-$ krotnym wielomianu $w(z)$ o współczynnikach rzeczywistych, to liczba sprzężona

$\textcolor{red}{\bar{z_{0}}}$

jest także pierwiastkiem $n-$ krotnym tego wielomianu.

TWIERDZENIE

Każdy wielomian $w(z)$ stopnia $n \geq 1$ o współczynnikach zespolonych ma $n$ pierwiastków w zbiorze liczb zespolonych.

Ostatnia modyfikacja: niedziela, 11.01.2015, 17:47 PM