To jak policzyć prędkość w punkcie ?

No to teraz zamiast liczyć pochodną w konkretnym punkcie, wyprowadźmy wzór na pochodną funkcji   \(f(x)=x^2\)   w dowolnym punkcie.

Zastosujmy to samo podejście co poprzednio. Dla przejrzystości zapiszmy tabelkę z wartościami na przedziałach z lewej i z prawej strony \(x_0\)

\(\begin{array}{c|c|c|c}x & x_0-h & x_0 & x_0+h\\ \hline f(x) & (x_0-h)^2 & x_0 & (x_0+h)^2\end{array}\)

Teraz liczymy prędkość średnią na przedziale  \(\textcolor{blue}{\left[x_0, x_0+h \right]}\) :

\(\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{x_0+h-x_0}=\frac{x_0^2+2x_0 h+h^2-x_0^2}{h}=2x_0+h\)

Prawie identycznie będzie z drugiej strony.

Gdy teraz będziemy zmniejszać przedziały, czyli gdy \(h\rightarrow 0\), wówczas widać wyraźnie, że \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\rightarrow 2x_0\) . Zatem możemy napisać, że

\(\boxed{f(x)=x^2, \quad f'(x)=2x}\)

lub używając drugiej notacji

\(\boxed{\frac{d}{dx}\left(x^2\right)=2x}\)