Pochodna funkcji potęgowej

Korzystając z definicji można wyprowadzić wiele wzorów na pochodne różnych funkcji. My skupimy się raczej na korzystaniu z tych wzorów, a nie na ich wyprowadzaniu.

A oto pierwszy i najczęściej używany wzór na pochodną potęgi

\(\boxed{f(x)=x^a, \qquad f'(x)=a\cdot x^{a-1}}\)

\(a\)   jest tutaj dowolną liczbą rzeczywistą

Przykłady

Oblicz pochodne

(A) \(f(x)=x^7\)
(B) \(f(x)=\sqrt{x}\)
(C) \(f(x)=\sqrt[3]{x^2}\)
Rozwiązanie (A)

\(f'(x) = 7\cdot x^6\)

Rozwiązanie (B)

Pierwiastki to też potęgi. Najpierw zapisz funkcję jako
\(f(x)=x^{\frac{1}{2}}\)
A następnie policz pochodną z powyższego wzoru
\(f'(x)=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Rozwiązanie (C)

Tak jak w (B), najpierw zapisz funkcję jako
\(f(x)=x^{\frac{2}{3}}\)
A następnie policz pochodną z powyższego wzoru
\(f'(x)=\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\)

 

You have completed 43% of the lesson
43%
◄ Formalna definicja pochodnej
Podstawowe wzory na pochodne funkcji ►