Wzory na pochodne różnych funkcji
Wzory na pochodne różnych funkcji
Pochodna sumy i iloczynu przez liczbę.
Pochodna sumy
\(\boxed{f(x)=g(x)+h(x),\qquad f'(x)=g'(x)+h'(x)}\)
Przykładowe uzasadnienie
Jeżeli oznaczymy przez \(m\) liczbę mężczyzn na świecie, a przez \(k\) liczbę kobiet, to \(m'\) będzie oznaczało szybkość z jaką zmienia się liczba mężczyzn, a \(k'\) szybkość z jaką zmienia się liczba kobiet. Wówczas całkowita liczba ludzi na ziemi
\(w=m+k\)
zmienia się z prędkością
\(w'=m'+k'\)
Pochodna iloczynu przez liczbę
\(\boxed{f(x)=c\cdot g(x),\qquad f'(x)=c\cdot g'(x)}\)
Przykładowe uzasadnienie
Wyobraźmy sobie, że roślina o wysokości \(h\) rzuca na ścianę cień 5 razy większy niż ona sama. Jeżeli roślina rośnie z prędkością \(h'\) , to rzucany przez nią cień będzie rósł z prędkością 5 razy większą, czyli \(5h'\).
(A) \(f(x)=x^3+3\frac{1}{x^{4}}\)
(B) \(g(t) =\sqrt{t}+5t\)
(C) \(h(z)=6\sqrt[3]{z}-2z^{10}+7\)
\(f(x)=x^3+3\cdot x^{-4}\)
\(f'(x)=3x^2+3\cdot (-4)x^{-5}=3x^2-12\frac{1}{x^5}\)
\(g'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}+5\)
\(h(z)=6\cdot z^{\frac{1}{3}}-2z^{10}+7\)
\(h'(z)=6\cdot\frac{1}{3} z^{-\frac{2}{3}}-2\cdot 10 z^9+0=\frac{2}{\sqrt[3]{z^2}}-20z^9\)
