Co to są przyrosty powiązane i jak sobie z nimi radzić

Na rysunku powyżej zawarte są trzy interesujące nas zmienne: objętość stożka piasku V(t), jego promień r(t) oraz wysokość h(t). Podsumujmy w tabeli co wiemy z treści zadania:

Równanie, które łączy te trzy zmienne, to wzór na objętość stożka

\(V=\frac{1}{3}\pi r^2 h\)

Zanim policzymy pochodną obu stron, wykorzystajmy fakt, że r=3h, aby uprościć to równanie.

\(V(t)=3\pi h(t)^3\)

Teraz możemy zróżniczkować nasze równanie, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej

\(V'(t)=9\pi h(t)^2\cdot h'(t)\)

następnie wyliczamy  \(h'(t)\)

\(h'(t)=\frac{V'(t)}{9\pi h(t)^2}\)

Teraz pozostaje tylko podstawić dane wartości:

\(h'(t)=\frac{120m^3/min}{9\pi (10m)^2}\approx 0,042 m/min\)

Zauważ, że odpowiedź otrzymaliśmy we właściwych jednostkach.