Co to są przyrosty powiązane i jak sobie z nimi radzić

Rysunek, taki jak pokazany wyżej, jest pomocny do wyobrażenia problemu i uporządkowania informacji. Tutaj trzy długości zmieniają się jednocześnie w czasie: odległość od lotniska samolotu lecącego na zachód, oznaczmy ją  \(x(t)\),  odległość od lotniska samolotu lecącego na północ, oznaczmy ją  \(y(t)\)  i odległość pomiędzy samolotami, oznaczmy ją  \(z(t)\).

Te trzy długości tworzą trójkąt prostokątny, więc równanie, które je łączy to \(x(t)^2+y(t)^2=z(t)^2\).

Celem jest znalezienie prędkości z jaką samoloty zbliżają się do siebie, czyli  \(z'(t)\).  Ponieważ  \(z(t)\)  to odległość, a ta się zmniejsza, to należy oczekiwać, że  \(z'(t)\leq 0\).  Podobnie, skoro  \(x(t),y(t)\)  to odległości (lub długości boków trójkąta) również malejące, czyli \(x'(t),y'(t)\leq 0\).

Calculus, Briggs Cochran

Podsumujmy co wiemy z treści zadania:

Skoro musimy znaleźć wartość \(z'(t)\) , to musimy policzyć pochodną naszego równania

\(z(t)^2 =x(t)^2+y(t)^2\)

\(\frac{d}{dt}\left[z(t)^2\right]=\frac{d}{dt}\left[x(t)^2+y(t)^2\right]\)

teraz musimy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, czyli mamy

\(2z(t)\cdot\frac{dz}{dt} =2x(t)\cdot \frac{dx}{dt}+2y(t)\cdot \frac{dy}{dt}\)

stąd dostaniemy wzór na  \(z'(t)\)

\(z'(t)=\frac{x(t)\cdot x'(t)+y(t)\cdot y'(t)}{z(t)}\)

Aby policzyć  \(z'(t)\)  brakuje nam jeszcze jednej wielkości, a mianowicie odległości  \(z\)  w momencie gdy  \(x=180\)  i  \(y=225\) . To możemy łatwo wyliczyć z tego samego równania, czyli

\(z=\sqrt{180^2+225^2}=45\sqrt{41}\approx 288 km\)

Teraz pozostaje tylko podstawić dane wartości:

\(z'(t)\approx\frac{(180km)(-120km/h)+(225km)(-150km/h)}{288km}\approx -192km/h\)

Zgodnie z oczekiwaniem, otrzymujemy ujemny wynik, bo odległość między samolotami maleje.