Co to są przyrosty powiązane i jak sobie z nimi radzić

Jak zawsze, rysunek, taki jak pokazany wyżej, jest pomocny do wyobrażenia problemu i uporządkowania informacji. Tutaj dwie wielkości zmieniają się jednocześnie w czasie: wysokość balonu nad ziemią, oznaczmy ją przez  \(y(t)\)  i kąt elewacji, oznaczmy go przez  \(\theta(t)\).

Co wiemy a czego szukamy ?

Teraz potrzebujemy równania, które powiąże te dwie wielkości. Idealny będzie tutaj wzór na tangens kąta

\(\tan{\theta}=\frac{y}{200}\)

Skoro musimy znaleźć wartość \(y'(t)\) , to musimy policzyć pochodną naszego równania

\(\frac{d}{dt}\left[\tan{\theta(t)}\right]=\frac{d}{dt}\left[\frac{y(t)}{200}\right]\)

teraz musimy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, czyli mamy

\(\frac{d\left[\tan{\theta(t)}\right]}{d\theta(t)}\cdot\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{200}\cdot\frac{dy}{dt}\)

\(\frac{1}{\cos^2{\theta(t)}}\cdot \theta'(t)=\frac{1}{200}y'(t)\)

stąd dostaniemy wzór na \(y'(t)\)

\(y'(t)=200\frac{\theta'(t)}{\cos^2{\theta}}\)

Teraz pozostaje tylko podstawić dane wartości:

\(y'(t)=200\frac{0,02}{\cos^2{\frac{\pi}{4}}}=200\frac{0,02}{\frac{1}{2}}=8 m/min\)

W momencie gdy kąt elewacji wynosi  \(45^\circ\) to balon wznosi się z prędkością  8 m/min, czyli około 0,48 km/h.