Jak znaleźć ekstrema funkcji ?

Patrząc na poprzednie dwa przykłady, możnaby zadać pytanie po co w ogóle liczyć pochodną skoro wystarczy narysować i zbadać wykres funkcji ?

W praktyce najlepiej łączyć jedno z drugim, tzn. analizować wykres funkcji aby stwierdzić czy i gdzie mniej więcej są ekstrema, a z pochodnej znaleźć dokładne ich położenie. 

Często też z samego wykresu nie widać, że funkcja ma ekstrema. Weźmy taki przykład:

\(f(x)=20x^5-15x^4-45x^3+0,1x\)

• Na wykresie widać (po odpowiedniej zmianie skali), że funkcja ma minimum gdzieś dla x=1,5 i maksimum gdzies w okolicy x=-1
• Ale co z x=0 ? Na pierwszy rzut oka wygląda, że tam ekstremum nie ma.
• Liczymy pochodną, przyrównujemy ją do zera i okazuje się, że punktów krytycznych jest cztery
  \(x=-0.9, -0.03,0.03,1.5\)
• Nawet przy dużym zbliżeniu wykresu nie widać wyraźnie tych dwóch ekstremów blisko x=0. Ale z pochodnej jasne jest, że tam muszą być.
• Ostatecznie stwierdzamy, że funkcja ma dwa minima lokalne
  \((-0.03, f(-0.03)), \quad (1.5, f(1.5))\)
  oraz dwa maksima lokalne
  \((-0.9, f(-0.9)), \quad (0.03, f(0.03))\)