To jest klasyczny problem minimalizacji pola powierzchni. Promień walca możemy oznaczyć \(r\) a jego wysokość \(h\). Objętość puszki mam być ustalona, czyli
\(354=\pi r^2\cdot h\)
Mamy znaleźć wymiary, które zminimalizują pole powierzchni, więc
\(S=2\pi r\cdot h+2\cdot \pi r^2\)
Wykorzystując zadane ograniczenie, możemy pozbyć się jednej zmiennej
\(h=\frac{354}{\pi r^2}\)
\(S(r)=\frac{708}{r}+2\pi r^2\)
Liczymy pochodną naszej funkcji (tym razem nawet nie potrzebna nam Geogebra)
\(S'(r)=-\frac{708}{r^2}+4\pi r=\frac{-708+4\pi r^3}{r^2}\)
i szukamy punktów krytycznych
\(S'(r)=0\quad\Leftrightarrow\quad 4\pi r^3=708\)
Pochodna nie istnieje w \(r=0\), ale to jest sytuacja nierealistyczna, zatem interesujący nas punkt krytyczny to \(r=\sqrt[3]{\frac{177}{\pi}}\)
Z wykresu (lub szkicu) pochodnej łatwo stwierdzić, że to jest szukane minimum. Zatem wymiary puszki to
\(r=\sqrt[3]{177/\pi}\approx 3.83cm,\quad h=2\sqrt[3]{177/\pi} \approx 7.67 cm\)
Te wymiary nie bardzo pasują do "prawdziwej" puszki, która ma wymiary \(r\approx 3cm, \quad h\approx 12cm\).
Na następnej stronie "poprawimy" to zadanie, aby uczynić je bardziej realistycznym.
