Zadanie: Znajdź promień i wysokość puszki napoju w kształcie walca o pojemności \(354 cm^3\), które zminimalizują pole jej powierzchni. Tym razem wykorzystaj fakt, że prawdziwe puszki mają grubsze (podwójne) dna.
Rozwiązanie:
Identyfikujemy zmienne i funkcję:
Przy tych samych oznaczeniach co poprzednio, mamy tę samą zależność na objętość puszki
\(354=\pi r^2\cdot h\)
Mamy znaleźć wymiary, które zminimalizują pole powierzchni, ale tym razem "wstawmy" podwójne dna (dwa koła u góry i dwa na dole)
\(S=2\pi r\cdot h+4\cdot \pi r^2\)
Tak jak poprzednio, wykorzystując zadane ograniczenie, pozbywamy się jednej zmiennej
\(h=\frac{354}{\pi r^2}\)
\(S(r)=\frac{708}{r}+4\pi r^2\)
Liczymy:
Liczymy pochodną naszej funkcji
\(S'(r)=-\frac{708}{r^2}+8\pi r=\frac{-708+8\pi r^3}{r^2}\)
i szukamy punktów krytycznych
\(S'(r)=0\quad\Leftrightarrow\quad 8\pi r^3=708\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt[3]{177/2\pi}\approx 3,04 cm\)
Jest to oczywiście szukane minimum. Zatem tym razem wymiary puszki to
\(r=\sqrt[3]{177/2\pi}\approx 3.04cm,\quad h=2\sqrt[3]{708/\pi} \approx 12.17 cm\)
Te wymiary już dużo lepiej pasują do wymiarów prawdziwej puszki.
I teraz wiesz, dlaczego puszki napojów gazowanych mają właśnie takie wymiary - chodzi o oszczędność materiału, czyli o pieniądze.
