Modele epidemiologiczne
Modele epidemiologiczne
Model SI
Pierwszym podstawowym modelem jest model zwany SI. Jak się można domyślić, to dlatego, że zakładamy iż mamy tylko dwie grupy: "podatnych, S" oraz "zainfekowanych, I".
W tym modelu jest jedna zasada:
jeżeli osobnik podatny (S) spotka zainfekowanego (I), to jest szansa,
że zachoruje.
Liczba konktaktów jest proporcjonalna do \(S\cdot I\) . Grupa \(S\) maleje, a grupa \(I\) rośnie o tyle samo osobników. Zmianę wielkości grupy opisuje pochodna, zatem
\(\begin{cases} S'(t) = -aSI\\ I'(t) = aSI\end{cases}\)
Przy pomocy poniższego apletu (napisany w Geogebrze) możesz zobaczyć jak zachowują się rozwiązania w zależności od wielkości początkowych i parametru \(a\) . Ponieważ dynamika jest tutaj bardzo prosta i jednokierunkowa, to oczywiście jakby nie zaczynać, to wszyscy zostaną w końcu zainfekowani (no chyba, że zaczniemy od \(I(0)=0\)).
Analiza inaczej
Ten układ równań można też "zredukować" do jednego równania, które dobrze już znamy.
Korzystając z tego, że \(N=S+I\) , możemy drugie równanie zapisać
\(I'(t)=a(N-I)I\)
A to jest model logistyczny ! My wiemy jak on się zachowuje, jakie ma rozwiązania stałe. I rzeczywiście, zachowanie \(I(t)\) , które widać w aplecie jest zgodne z tym co wiemy o modelu logistycznym.
Możnaby to samo zrobić z pierwszym równaniem, ale zwykle bardziej interesuje nas wzrost populacji zainfekowanej, bo to ją chcemy ograniczyć przez szczepionki i leki.
