Funkcje uwikłane

Do tej pory mieliśmy do czynienia z funkcjami danymi w sposób jawny, czyli w postaci   \(y=f(x)\) . Często jednak zależności między dwiema zmiennymi są podane w sposób uwikłany,   \(F(x,y)=0\).  Najczęściej też, w takich równaniach chowa się więcej niż jedna funkcja.

Przykład 1

W równaniu okręgu   \(x^2+y^2=1\)   kryją się równania dwóch funkcji

\(y=\textcolor{blue}{f_1(x)=\sqrt{1-x^2}}\)

\(y=\textcolor{red}{f_2(x)=-\sqrt{1-x^2}}\)

Przykład 2

Często nie jesteśmy w stanie "odzyskać" jawnych wzorów na funkcje z równań uwikłanych. Na przykład w równaniu   \(x+y^3-xy=1\)   chowają się aż trzy funkcje, ale rozwiązanie tego równaniu ze względu na   \(y\)   stanowi spore wyzwanie.

- górna częśc paraboli

\(y=\textcolor{blue}{f_1(x)}\)

- dolna część paraboli

\(y=\textcolor{red}{f_2(x)}\)

- prosta

\(y=\textcolor{green}{f_3(x)}\)

 

Różniczkowanie funkcji uwikłanych

W różniczkowaniu funkcji uwikłanych najważniejszą rzeczą, o której należy pamiętać jest to, że pod literą   \(y\)   kryje się funkcja   \(y(x)\) ,  więc najczęściej będziemy mieć do czynienia z pochodną funkcji złożonej.

Na przykład,   \(\left(y^3\right)' = 3y^2\cdot y'\) ,   bo tutaj mamy   \(\frac{d\left[y(\;)\right]}{d(\;)}\cdot\frac{d\left[(\;)^3\right]}{d(\;)}=\frac{d(y(x))}{dx}\cdot\frac{d\left[(y)^3\right]}{d(y)}\) .

Inny przykład to  \(\left(\sqrt{y}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot y'\),   bo tu znowu mamy funkcję złożoną, gdzie na zewnątrz jest pierwiastek, w środku funkcja   \(y(x)\).

Jeszcze inny przykład to  \(\left(\frac{1}{y}\right)'=-\frac{1}{y^2}\cdot y'\),   bo tu zewnętrzną funkcją jest   \(\frac{1}{(\;)}\) , a w środku znowu jest funkcja   \(y(x)\).

Przykład 3

Obliczmy pochodną   \(\frac{dy}{dx}\)   ze wzoru na okrąg   \(x^2+y^2=1\) .

Aby podkreślić, że   \(y\)   jest tutaj funkcją   \(x\),  pomocne będzie jeżeli zamiast    \(y\)   będziemy pisać   \(y(x)\) , czyli

\(x^2+\left(y(x)\right)^2 = 1\)

Wówczas drugi wyraz jest funkcją złożoną. Liczymy zatem pochodną obu stron równania

\(\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}\left[y(x)^2\right] = \frac{d}{dx}(1)\)

\(2x+2y(x)\cdot y'(x)=0\)

\(y'(x)=\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)

Po co w ogóle mowa o funkcjach uwikłanych ? Bo często wygodniej jest, a nawet jest konieczne obliczenie pochodnej funkcji pomimo, że nie mamy jej jawnego wzoru.

Przykład 4

Znajdź równanie stycznej do krzywej danej wzorem   \(x^2+xy-y^3=7\)   w punkcie   \((3,2)\).

Dla przypomnienia, równanie stycznej do krzywej   \(y=f(x)\)   w punkcie   \((x_0,f(x_0))\)   dane jest wzorem:

\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)

Aby znaleźć wartość pochodnej, różniczkujemy obie strony równania

\(\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(xy)-\frac{d}{dx}(y^3)=\frac{d}{dx}(7)\)

Trzeci wyraz to pochodna funkcji złożonej, a drugi to iloczyn funkcji, więc pochodną liczymy ze wzoru   \((xy)'=(x)'\cdot y + x\cdot(y)'\) ,

\(2x+y+xy'-3y^2y'=0\)

\(y'=\frac{2x+y}{3y^2-x}\)

W punkcie   \((3,2)\)  ta pochodna wynosi   \(y'=\frac{8}{9}\) ,  zatem równanie stycznej to

\(y-2=\frac{8}{9}(x-3)\)   lub   \(y=\frac{8}{9}x-\frac{2}{3}\)

Last modified: Tuesday, 13.02.2018, 17:14