Pochodne funkcji uwikłanych

W równaniu okręgu   $x^2+y^2=1$   kryją się równania dwóch funkcji

$y=\textcolor{blue}{f_1(x)=\sqrt{1-x^2}}$ $y=\textcolor{red}{f_2(x)=-\sqrt{1-x^2}}$

Często nie jesteśmy w stanie "odzyskać" jawnych wzorów na funkcje z równań uwikłanych. Na przykład w równaniu   $x+y^3-xy=1$   chowają się aż trzy funkcje, ale rozwiązanie tego równaniu ze względu na   $y$   stanowi spore wyzwanie.

- górna częśc paraboli $y=\textcolor{blue}{f_1(x)}$ - dolna część paraboli $y=\textcolor{red}{f_2(x)}$ - prosta $y=\textcolor{green}{f_3(x)}$

Obliczmy pochodną   $\frac{dy}{dx}$   ze wzoru na okrąg   $x^2+y^2=1$ .

Aby podkreślić, że   $y$   jest tutaj funkcją   $x$,  pomocne będzie jeżeli zamiast    $y$   będziemy pisać   $y(x)$ , czyli

$x^2+\left(y(x)\right)^2 = 1$

Wówczas drugi wyraz jest funkcją złożoną. Liczymy zatem pochodną obu stron równania

$\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}\left[y(x)^2\right] = \frac{d}{dx}(1)$

$2x+2y(x)\cdot y'(x)=0$

$y'(x)=\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

Znajdź równanie stycznej do krzywej danej wzorem   $x^2+xy-y^3=7$   w punkcie   $(3,2)$.

Dla przypomnienia, równanie stycznej do krzywej   $y=f(x)$   w punkcie   $(x_0,f(x_0))$   dane jest wzorem:

$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$

Aby znaleźć wartość pochodnej, różniczkujemy obie strony równania

$\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(xy)-\frac{d}{dx}(y^3)=\frac{d}{dx}(7)$

Trzeci wyraz to pochodna funkcji złożonej, a drugi to iloczyn funkcji, więc pochodną liczymy ze wzoru   $(xy)'=(x)'\cdot y + x\cdot(y)'$ ,

$2x+y+xy'-3y^2y'=0$

$y'=\frac{2x+y}{3y^2-x}$

W punkcie   $(3,2)$  ta pochodna wynosi   $y'=\frac{8}{9}$ ,  zatem równanie stycznej to

$y-2=\frac{8}{9}(x-3)$   lub   $y=\frac{8}{9}x-\frac{2}{3}$