Granice, pochodne i całki
Granice, pochodne i całki
... czyli to, co Studenci kochają najbardziej na świecie :)
A teraz nareszcie omówimy dokładniej zmienną symboliczną deklarowaną poleceniem syms. Wywołanie polecenia syms x; daje MATLABowi do zrozumienia, że w następnych liniach zmienna x ma być traktowana symbolicznie, bez nadawania jej żadnej konkretnej wartości (to tak jakbyśmy rozwiązywali równanie ręcznie, pisząc pewne ogólne x zamiast jego wartości liczbowej). Korzystając z ogólnego (symbolicznego) x możemy obliczać granice używając następującej składni:
-
limit(wyrażenie, x, a) - x jest główną zmienną i dąży do a
-
limit(wyrażenie, a) - zmienna ustalana jest domyślnie (poprawnie lub nie!)
-
limit(wyrażenie) - zmienna ustalana jest domyślnie (poprawnie lub nie!), a=0
-
limit(wyrażenie, x, a, 'left') - granica lewostronna
-
limit(wyrażenie, x, a, 'right') – granica prawostronna
Zadanie (6)
Wypróbuj następujące komendy:
>> syms x;
>> limit(sin(x)/x,x,0)
>> limit(1/x, x, 0, 'right')
>> limit(1/x, x, 0, 'left')
>> syms h; % w tym momencie x nadal jest zmienną symboliczną, nie trzeba tego ustalać od nowa
>> limit((sin(x + h) - sin(x))/h, h, 0) % obliczyliśmy pochodną z definicji :)
>> syms n;
>> limit((1+1/n)^n, n, Inf) % przykład granicy w nieskończoności
>> limit((-1)^n, n, Inf) % przykład granicy, która nie istnieje
Pochodne funkcji oblicza się przy pomocy polecenia diff. Do całkowania służy funkcja int.
Zadanie (7)
Wypróbuj następujące komendy:
>> syms x;
>> syms y;
>> syms t;
>> y= sin(x)+2*t*x;
>> dyx = diff(y,'x') % 'x' – ze względu na którą zmienną różniczkować
>> dyt = diff(y,'t')
>> y=exp(2*x);
>> dy = diff(y)
>> f = sin(x); g = 4*x^3+2*x^2+3*x + 1;
>> y = f*g % fajny przykład mnożenia funkcji
>> dy =diff(y) % pochodna iloczynu funkcji
>> dg = diff(g,2) % druga pochodna
>> u= 2*x + 3; f = sin(u);
>> diff(f) % pochodna funkcji złożonej
>> y=tan(x^6-3*x+5);
>> poch = diff(y,2)
>> subs(poch, x, 1.5) % w poch, która była obliczona powyżej, podstawiamy za x wartość 1.5
Zadanie (8)
Wypróbuj następujące komendy:
>> syms a;
>> syms x;
>> y=int(x*sin(x), x)
>> diff(y) % można sprawdzić, czy dobrze scałkowało – otrzymamy znowu x*sin(x)
>> int(a*sin(x), x) % całkowanie ze względu na różne zmienne
>> int(a*sin(x), a)
>> int(sin(x^2), x) % MATLAB zna funkcję Fresnela :)
>> int(x*sin(x), x, 0, pi/2) % całka oznaczona
% MATLAB nie policzy żadnej z tych całek – są dla niego za trudne:
>> int(sin(x^5 + x^3), x)
>> int(sin(x^5 + x^3), x, 0, pi/2)
% przybliżona wartość całki:
>> double( int(sin(x^5 + x^3), x, 0, pi/2) )
